Question

20．给出下列叙述：
①若α，β均为第一象限，且α＞β，则sinα＞sinβ
②函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）在区间[0，$\frac{5π}{12}$]上是增函数；
③函数f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）的一个对称中心为（-$\frac{π}{6}$，0）
④记min{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≤b}\\{b，a＞b}\end{array}\right.$，若函数f（x）=min{sinx，cosx}，则f（x）的值域为[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．
其是叙述正确的是②④（请填上序号）．

Answer 1

分析 利用反例判断①的正误；函数的单调性判断②的正误；函数的对称中心判断③的正误；三角函数的最值判断④的正误；

解答 解：对于①若α，β均为第一象限，且α＞β，利用α=390°＞60°=β，则sinα＜sinβ，所以①不正确；
②函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）函数的周期为：π，x=$\frac{5π}{12}$时，f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）取得最大值1，所以在区间[0，$\frac{5π}{12}$]上是增函数；所以②正确；
③函数f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$），x=$-\frac{π}{6}$时，f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）=1，所以函数f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）对称中心为（-$\frac{π}{6}$，0）不正确；
④记min{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≤b}\\{b，a＞b}\end{array}\right.$，若函数f（x）=min{sinx，cosx}=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，sinx≤cosx}\\{cosx，sinx＞cosx}\end{array}\right.$，根据三角函数的周期性，我们只看在一个最小正周期的情况即可，
设x∈[0，2π]，
当$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{3π}{4}$时，sinx≥cosx，f（x）=cosx，f（x）∈[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
当0≤x＜$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$x≤2π时，cosx＞sinx，f（x）=sinx，f（x）∈[0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]∪[-1，0]．
综合知f（x）的值域为[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．
则f（x）的值域为[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．正确．
故答案为：②④；

点评 本题考查命题的真假，三角函数的周期，函数的单调性，最值，考查转化思想以及计算能力．