Question

16．已知函数f（x）=|x-a|-$\frac{1}{2}$x，（a＞0）．
（Ⅰ）若a=3，解关于x的不等式f（x）＜0；
（Ⅱ）若对于任意的实数x，不等式f（x）-f（x+a）＜a²+$\frac{a}{2}$恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将a的值带入f（x），两边平方求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）求出f（x）=|x-a|-|x|+$\frac{a}{2}$，原问题等价于|a|＜a²，求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）a=3时，f（x）=|x-3|-$\frac{1}{2}$x＜0，
即|x-3|＜$\frac{1}{2}$x，
两边平方得：（x-3）²＜$\frac{1}{4}$x²，
解得：2＜x＜6，
故不等式的解集是{x|2＜x＜6}；
（Ⅱ）f（x）-f（x+a）
=|x-a|-$\frac{1}{2}$x-|x|+$\frac{1}{2}$（x+a）
=|x-a|-|x|+$\frac{a}{2}$，
若对于任意的实数x，不等式f（x）-f（x+a）＜a²+$\frac{a}{2}$恒成立，
即|x-a|-|x|+$\frac{a}{2}$＜a²+$\frac{a}{2}$对x∈R恒成立，
即a²＞|x-a|-|x|，而|x-a|-|x|≤|（x-a）-x|=|a|，
原问题等价于|a|＜a²，又a＞0，
∴a＜a²，解得a＞1．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．