Question

已知函数f（x）与g（x）满足f（2+x）=f（2-x），g（x+1）=g（x-1），且f（x）在区间[2，+∞）上为减函数，令h（x）=f（x）•|g（x）|，则下列不等式正确的有

 

．
①h（-2）≥h（4）
②h（-2）≤h（4）
③h（0）＞h（4）
④h（0）=h（4）．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：由已知中函数f（x）与g（x）满足f（2+x）=f（2-x），g（x+1）=g（x-1），且f（x）在区间[2，+∞）上为减函数，可判断出f（4）=f（0），f（-2）＜f（4），及g（-2）=g（0）=g（2）=g（4），结合不等式的基本性质可得答案．

解答： 解：∵函数f（x）满足f（2+x）=f（2-x），
故函数f（x）的图象关于直线x=2对称
当x=2时，f（4）=f（0）…①
又∵f（x）在区间[2，+∞）上为减函数，
∴f（x）在区间（-∞，2]上为增函数，
当x=4时，f（6）=f（-2）＜f（4）…②
又∵g（x+1）=g（x-1），故函数g（x）是又2为周期的周期函数
g（-2）=g（0）=g（2）=g（4）…③，
∵h（x）=f（x）•|g（x）|，
由①③得：h（0）=h（4）．
由①②得：h（-2）≤h（4）
故答案为：②④

点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的对称性，函数的周期性，不等式的基本性质，其中根据已知分析出f（4）=f（0），f（-2）＜f（4），及g（-2）=g（0）=g（2）=g（4）是解答的关键．