Question

3．已知双曲线C与双曲线$\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{6}=1$有共同的渐近线，则双曲线C的离心率为$\frac{\sqrt{7}}{2}$或$\frac{\sqrt{21}}{3}$，若此双曲线C还过点M（2$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$），则双曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

Answer 1

分析 直接求解双曲线的离心率，然后求解双曲线方程．

解答 解：双曲线C与双曲线$\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{6}=1$有共同的渐近线，可得：$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{8}}$或$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{8}}$，
即：$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，可得e²-1=$\frac{3}{4}$，可得：e=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}=\frac{6}{8}$，可得：e²-1=$\frac{4}{3}$，e=$\frac{\sqrt{21}}{3}$．
此双曲线C设为：$\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{6}=m$还过点M（2$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$），
可得：$\frac{8}{8}-\frac{3}{6}=m$，即m=$\frac{1}{2}$，
所求双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
故答案为：$\frac{\sqrt{7}}{2}$或$\frac{\sqrt{21}}{3}$；$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．