Question

14．定义在R上的函数y=f（x）满足f（4+x）=f（-x），（x-2）f′（x）＞0，则“f（x）＞f（1）”是“x＜1”的（　　）条件．

• A． 充分不必要
• B． 必要不充分
• C． 充要
• D． 既不充分又不必要

Answer 1

分析 根据已知条件f（+x）=f（-x）求出其对称轴，再根据（x-2）f′（x）＞0讨论函数的单调性，利用函数充分条件和必要条件的定义进行判断．

解答 解：∵定义在R上的函数y=f（x），
f（4+x）=f（-x）可得函数的对称轴为x=2，
∵（x-2）f′（x）＞0，
当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
当x＜2时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
若x＜1时，则函数f（x）为减函数，则f（x）＞f（1），则必要性成立，
则当f（x）＞f（1）时，x＜1不一定成立，
比如f（x）=|x-4|，f（1）=3，
则f（8）=||8-4|=4满足f（x）＞f（1），但x＜1不成立，即充分性不成立，
即“f（x）＞f（1）”是“x＜1”的必要不充分条件，
故选：B．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数单调性和对称性的性质，以及函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．