已知平面直角坐标系xOy.曲线C的方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=-\sqrt{3}+2sinφ\end{array}\right.$.以O为极点.x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.P点的极坐标为(2$\sqrt{3}$.$\frac{π}{6}$).直线l的极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ+1=0．(1)写出点P的直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．已知平面直角坐标系xOy，曲线C的方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=-\sqrt{3}+2sinφ\end{array}\right.$（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$），直线l的极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ+1=0．
（1）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；
（2）若Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l距离的最小值．

分析（1）由$x=2\sqrt{3}cos\frac{π}{6}$=3，y=2$\sqrt{3}sin\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}$，能求出点P的直角坐标，由$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=-\sqrt{3}+2sinφ\end{array}\right.$，消去φ，能求出曲线C的直角坐标方程．
（2）求出直线l的普通方程为4x+3y+1=0，设$Q（2cosφ，-\sqrt{3}+2sinφ）$，则$M（\frac{3}{2}+cosφ，sinφ）$，利用点到直线l的距离公式能求出点M到直线l的最小距离．

解答解：（1）∵P点的极坐标为（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$），
$x=2\sqrt{3}cos\frac{π}{6}$=3，y=2$\sqrt{3}sin\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}$，
∴点P的直角坐标为$（3，\sqrt{3}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=-\sqrt{3}+2sinφ\end{array}\right.$，消去φ得，${x^2}+{（y+\sqrt{3}）^2}=4$，
∴曲线C的直角坐标方程为${x^2}+{（y+\sqrt{3}）^2}=4$．…（5分）
（2）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=-\sqrt{3}+2sinφ\end{array}\right.$（φ为参数），
∵直线l的极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ+1=0，
∴直线l的普通方程为4x+3y+1=0，
设$Q（2cosφ，-\sqrt{3}+2sinφ）$，则$M（\frac{3}{2}+cosφ，sinφ）$，
∴点M到直线l的距离为$d=\frac{|4cosφ+3sinφ+7|}{5}=\frac{|5sin（φ+α）+7|}{5}≥\frac{2}{5}$，
∴点M到直线l的最小距离为$\frac{2}{5}$．…（10分）

点评本题考查点的直角坐标及曲线的普通方程的求示，考查线段落中点到直线距离的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意中点坐标公式、点到直线的距离公式的合理运用．