Question

19．已知函数f（x）=2sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$-2$\sqrt{3}$sin²$\frac{x}{4}$+$\sqrt{3}$．
（1）求f（x）的最小正周期及最值；
（2）求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，再求：
（1）函数f（x）的最小正周期和最大、最小值；
（2）求出函数f（x）的单调增区间．

解答 解：函数f（x）=2sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$-2$\sqrt{3}$sin²$\frac{x}{4}$+$\sqrt{3}$
=sin$\frac{x}{2}$-2$\sqrt{3}$×$\frac{1-cos\frac{x}{2}}{2}$+$\sqrt{3}$
=sin$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$
=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）；
（1）函数f（x）的最小正周期是T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π，
且当$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
即x=$\frac{π}{3}$+4kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值2，
当$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
即x=-$\frac{5π}{3}$+4kπ（k∈Z）时，f（x）取得最小值-2；
（2）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{5π}{3}$+4kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+4kπ，k∈Z；
所以函数f（x）的单调增区间是：
[-$\frac{5π}{3}$+4kπ，$\frac{π}{3}$+4kπ]，k∈Z．

点评 本题考查了三角恒等变换以及正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．