Question

2．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（Ⅰ）证明：BD₁⊥A₁D；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{B{C}_{1}}$与$\overrightarrow{AC}$夹角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BD₁⊥A₁D．
（Ⅱ）分别求出$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），利用向量法能求出$\overrightarrow{B{C}_{1}}$与$\overrightarrow{AC}$夹角．

解答 证明：（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，
则B（1，1，0），D₁（0，0，1），A₁（0，1，1），D（0，0，0），
$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-1，-1，1），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（0，1，1），
∵$\overrightarrow{B{D}_{1}}$•$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=0-1+1=0，
∴BD₁⊥A₁D．
解：（Ⅱ）C₁（0，1，1），A（1，0，0），C（0，1，0），
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），
设$\overrightarrow{B{C}_{1}}$与$\overrightarrow{AC}$夹角为θ，
则cosθ=cos＜$\overrightarrow{B{C}_{1}}，\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=60°，
∴$\overrightarrow{B{C}_{1}}$与$\overrightarrow{AC}$夹角为60°．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查向量的夹角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．