Question

已知△ABC的三内角为A，B，C，

m

=（-1，

3

）．

n

=（cosA，sinA）．且

m

•

n

=1，

1+sin2B

cos2B-sin2B

=-3．
（1）求角A；
（2）若AC边的长为

15

，求△ABC的面积S．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：（1）根据向量的数量积公式，即可求出A的大小．
（2）求出B的三角函数值，利用正弦定理和三角形的面积公式即可得到结论．

解答： 解：（1）∵

m

=（-1，

3

）．

n

=（cosA，sinA）．且

m

•

n

=1，
∴

3

sinA-cosA=1，
即2（

3

2

sinA-

1

2

cosA）=1，
∴2sin（A-

π

6

）=1，
即sin（A-

π

6

）=

1

2

，
在三角形中A-

π

6

=

π

6

），即A=

π

3

．
（2）∵

1+sin2B

cos2B-sin2B

=

(cosB+sinB)2

(cosB+sinB)(cosB-sinB)

=

cosB+sinB

cosB-sinB

=-3，
∴sinB=2cosB，解得sinB=

2 5

5

，cosB=

5

5

．
由正弦定理得

AC

sinB

=

BC

sinA

，
即

15

2 5 5

=

BC

3 2

，解得BC=

15

4

，
sinC=sin（π-A-B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

3

2

×

5

5

+

1

2

×

2 5

5

=

5 ( 3 +2)

10

，
∴△ABC的面积S=

1

2

AC•BC•sinC=

1

2

×

15

×

5 ( 3 +2)

10

×

15

4

=

15(2 3 +3)

16

．

点评：本题主要考查正弦定理和三角形面积的计算，考查学生的计算能力．