题目内容
已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若y=
在（0，+∞）上为增函数，则称f（x） 为“一阶比增函数”．
（1）若f（x）=ax2+ax是“一阶比增函数”，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）是“一阶比增函数”，当x2＞x1＞0时，试比较f（x1）+f（x2）与f（x1+x2）的大小．
| f(x) |
| x |
（1）若f（x）=ax2+ax是“一阶比增函数”，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）是“一阶比增函数”，当x2＞x1＞0时，试比较f（x1）+f（x2）与f（x1+x2）的大小．
考点：函数最值的应用
专题：函数的性质及应用
分析：（1）根据“一阶比增函数”的定义，建立条件关系即可求实数a的取值范围；
（2）利用函数的单调性，以及“一阶比增函数”的定义即可确定函数值的大小．
（2）利用函数的单调性，以及“一阶比增函数”的定义即可确定函数值的大小．
解答：
解：（I）由题y=
=
=ax+a在（0，+∞）是增函数，
由一次函数性质知
当a＞0时，y=ax+a在（0，+∞）上是增函数，
所以a＞0．
（Ⅱ）f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2），
证明如下：因为f（x）是“一阶比增函数”，即
在（0，+∞）上是增函数，
又任意x1，x2∈（0，+∞）有x1＜x1+x2，x2＜x1+x2，
所以
＜
，
＜
，
所以f（x1）＜
，f（x2）＜
，
所以f(x1)+f(x2)＜
+
=f(x1+x2)，
所以f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）．
| f(x) |
| x |
| ax2+ax |
| x |
由一次函数性质知
当a＞0时，y=ax+a在（0，+∞）上是增函数，
所以a＞0．
（Ⅱ）f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2），
证明如下：因为f（x）是“一阶比增函数”，即
| f(x) |
| x |
又任意x1，x2∈（0，+∞）有x1＜x1+x2，x2＜x1+x2，
所以
| f(x1) |
| x1 |
| f(x1+x2) |
| x1+x2 |
| f(x2) |
| x2 |
| f(x1+x2) |
| x1+x2 |
所以f（x1）＜
| x1f(x1+x2) |
| x1+x2 |
| x2f(x1+x2) |
| x1+x2 |
所以f(x1)+f(x2)＜
| x1f(x1+x2) |
| x1+x2 |
| x2f(x1+x2) |
| x1+x2 |
所以f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）．
点评：本题主要考查函数单调性的应用，根据“一阶比增函数”的定义是解决本题的关键，考查学生的推理能力．
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