Question

11．已知函数f（x）=2sin2x．将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．
（1）求g（x）的单调增区间；
（2）已知区间[m，n]（m，n∈R且m＜n）满足：y=g（x）在[m，n]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[m，n]中，求n-m的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得g（x）的单调增区间．
（2）利用正弦函数的零点和周期性，求得n-m的最小值．

解答 解：（1）把函数f（x）=2sin2x 的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，可得y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象；
再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1的图象．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得g（x）的单调增区间为[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{6}$，]，k∈Z．
（2）令g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1=0，求得sin（2x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，∴2x+$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{2π}{3}$，或2x+$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{3}$，
即x=kπ-$\frac{π}{2}$，或 x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z．
故函数g（x）在一个周期上有两个零点．
根据y=g（x）在[m，n]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[m，n]中，
当n-m的最小值时，可取m=-$\frac{π}{2}$，n=14π-$\frac{π}{3}$，此时，n-m=14π+$\frac{π}{6}$=$\frac{85π}{6}$．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性、零点和周期性，属于中档题．