Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-

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3

与x=1时都取得极值
（1）求a，b的值与函数f（x）的单调区间
（2）若f（0）=1，且对x∈[-1，2]，不等式f（x）＜m+1恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，由于函数f（x）在x=-

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与x=1时都取得极值，可得f′(-

2

3

)=f′（1）=0，解出即可得出a，b．列出表格即可得出单调性极值．
（2）对x∈[-1，2]，不等式f（x）＜m+1恒成立?f（x）_max＜m+1，利用（1）的单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：（1）函数f（x）=x³+ax²+bx+c，f′（x）=3x²+2ax+b，
∵函数f（x）在x=-

2

3

与x=1时都取得极值，
∴f′(-

2

3

)=f′（1）=0，
∴

4 3 - 4a 3 +b=0 3+2a+b=0

，
解得a=-

1

2

，b=-2．
∴f′(x)=3(x+

2

3

)(x-1)，
当x变化时，f′（x），f（x）变化如下表：

x	(-∞，- 2 3 )	- 2 3	(- 2 3 ，1)	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

∴函数f（x）的递增区间是(-∞，-

2

3

)，（1，+∞），递减区间是(-

2

3

，1)；
（2）f（0）=1，∴c=1．∴f(x)=x3-

1

2

x2-2x+1，x∈[-1，2]．
当x=-

2

3

时，f(-

2

3

)=

49

27

为极大值．而f（2）=3，则f（2）=3为最大值，
要使f（x）＜m+1恒成立，则只需要3＜m+1，
解得m＞2，
∴实数m的取值范围为m＞2．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、闭区间上的最值，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．