Question

下列函数中最小正周期为

π

2

的是（　　）

• A、y=|sin4x|
• B、y=sinxcos(x+

  π

  6

  )
• C、y=sin（cosx）
• D、y=sin⁴x+cos²x

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值

分析：A、找出ω的值，代入T=

π

|ω|

求出最小正周期，即可做出判断；
B、解析式利用积化和差公式变形，找出ω的值，代入周期公式求出最小正周期，即可做出判断；
C、由cosx的值域为[-1，1]，在正弦函数一个周期之内，确定出y=sin（cosx）的最小正周期为2π，不合题意；
D、解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用二倍角的余弦函数公式变形，化为一个角的余弦函数，找出ω的值，求出最小正周期，即可做出判断；

解答： 解：A、y=|sin4x|，
∵ω=4，∴T=

π

4

，不合题意；
B、y=sinxcos（x+

π

6

）=

sin(2x+ π 6 )-sin π 6

2

=

1

2

sin（2x+

π

6

）-

1

4

，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，不合题意；
C、∵cosx∈[-1，1]?[-π，π]，
∴y=sin（cosx）的最小正周期为2π，不合题意；
D、y=sin⁴x+cos²x=（

1-cos2x

2

）²+

1+cos2x

2

=

1+cos22x-2cos2x+2+2cos2x

4

=

cos22x+3

4

=

1+cos4x 2 +3

4

=

1

8

cos4x+

7

8

，
∵ω=4，
∴y=sin⁴x+cos²x最小正周期T=

2π

4

=

π

2

，符合题意，
故选D

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．