Question

7．已知函数f（x）=x+alnx（a∈R），g（x）=e^x-1
（1）若直线y=0与函数y=f（x）的图象相切，求a的值；
（2）设a＞0，对于?x₁，x₂∈[3，+∞）（x₁≠x₂）都有|f（x₁）-f（x₂）|＜|g（x₁）-g（x₂）|，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，设出切点坐标，求出a的值即可；
（2）根据函数的单调性，问题转化为f（x₁）-g（x₁）＞f（x₂）-g（x₂），设h（x）=f（x）-g（x），根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=1+$\frac{a}{x}$，设切点为（x₀，0），
得1+$\frac{a}{{x}_{0}}$=0得x₀=-a，
所以-a+aln（-a）=0，
所以a=-e；
（2）∵a＞0∴x∈[3，+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x），g（x）在x∈[3，+∞）上为增函数，
不妨设x₁＜x₂，则f（x₁）＜f（x₂），g（x₁）＜g（x₂），
所以|f（x₁）-f（x₂）|＜|g（x₁）-g（x₂）|，
可化为f（x₂）-f（x₁）＜g（x₂）-g（x₁），
即f（x₁）-g（x₁）＞f（x₂）-g（x₂），
设h（x）=f（x）-g（x），
则h（x）在x∈[3，+∞）递减，
h′（x）=1+$\frac{a}{x}$-e^x≤0在x∈[3，+∞）恒成立，
即xe^x-x≥a在x∈[3，+∞）恒成立，
设v（x）=xe^x-x，
则∵x∈[3，+∞）∴v'（x）=e^x+xe^x-1＞0，
所以v（x）=xe^x-x在x∈[3，+∞）上为增函数
所以$v{（x）_{min}}=3{e^3}-3$，
∴a≤3e³-3．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，绝对值问题，是一道中档题．