Question

15．如图，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点．
（1）求四棱锥P-BCD外接球（即P，B，C，D四点都在球面上）的表面积；
（2）求证：平面FGH⊥平面AEB；
（3）在线段PC上是否存在一点M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）证明PD⊥BD，PC⊥BC，根据直角三角形的中线特点得出F为外接球的球心，计算出球的半径代入面积公式计算即可；
（2）证明BC⊥平面ABE，FH∥BC即可得出FH⊥平面ABE，于是平面FGH⊥平面AEB；
（3）证明EF⊥PB，故只需FM⊥PB即可，利用相似三角形计算出PM．

解答 解：（1）连结FD，FC，
∵EA⊥平面ABCD，PD∥EA，
∴PD⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，
∴PD⊥BD，∵F是PB的中点，
∴DF=$\frac{1}{2}$PB，
同理可得FC=$\frac{1}{2}$PB，
∴F为棱锥P-BCD的外接球的球心．
∵AD=PD=2EA=2，
∴BD=2$\sqrt{2}$，PB=$\sqrt{P{D}^{2}+B{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴四棱锥P-BCD外接球的表面积为4π•（$\frac{2\sqrt{3}}{2}$）²=12π．
（2）证明：∵EA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴EA⊥CB．又CB⊥AB，AB∩AE=A，
∴CB⊥平面ABE．
∵F，H分别为线段PB，PC的中点，
∴FH∥BC．
∴FH⊥平面ABE．又FH?平面FGH，
∴平面FGH⊥平面ABE．
（3）在直角三角形AEB中，∵AE=1，AB=2，∴$BE=\sqrt{5}$．
在直角梯形EADP中，∵AE=1，AD=PD=2，∴$PE=\sqrt{5}$，
∴PE=BE．又F为PB的中点，
∴EF⊥PB．
假设在线段PC上存在一点M，使PB⊥平面EFM．
只需满足PB⊥FM即可，
∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥CB，又CB⊥CD，PD∩CD=D，
∴CB⊥平面PCD，∵PC?平面PCD，
∴CB⊥PC．若PB⊥FM，则△PFM∽△PCB，∴$\frac{PM}{PB}=\frac{PF}{PC}$．
∵$PB=2\sqrt{3}$，$PF=\sqrt{3}$，$PC=2\sqrt{2}$，
∴$PM=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$．
∴线段PC上存在一点M，使PB⊥平面EFM，此时PM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了球与棱锥的位置关系，面面垂直的判定，线面垂直的判定，属于中档题．