Question

17．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的正整数．
（1）共有多少个四位数？
（2）其中四位偶数有多少个？
（3）比4301大的四位数有多少个？
（4））能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？
（注意：以上各小题要列出算式后再求值，否则扣分．）

Answer 1

分析 （1）先安排首位的数字，从五个非0数字中选一个，共有C₅¹种结果，余下的五个数字在三个位置进行全排列，共有A₅³种结果，根据乘法原理得到结果．
（2）要组成无重复数字的四位偶数，则末位为0，2，4中一个，且首位不能为0，所以可用分类计数，分成三类，0在个位，2在个位，4在个位，把每类的方法数计算出来，再相加即可．
（3）当首位是5时，其他几个数字在三个位置上排列，当首位是4时，第二位是5．后两位没有限制，当前两位是43时，分别写出结果数（注意减去4301），相加得到结果．
（4）要组成无重复数字的5的倍数的五位数，则末位为0，5中一个，且首位不能为0，所以可用分类计数，分成两类，0在个位，5在个位，把每类的方法数计算出来，再相加即可

解答 解：（1）由题意知，因为数字中有0，0不能放在首位，
∴先安排首位的数字，从五个非0数字中选一个，共有C₅¹种结果，
余下的五个数字在三个位置进行全排列，共有A₅³种结果，
根据分步计数原理知共有A¹₅•A³₅=300；
（2）第一类：0在个位时有A₅³个；第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有A₄¹种），十位和百位从余下的数字中选（有A₄²种），于是有A₄¹A₄²个；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A₄¹A₄²个．
共有四位偶数：A₅³+A₄¹A₄²+A₄¹A₄²=156个．
（3）当首位是5时，其他几个数字在三个位置上排列，共有A₅³=60，
当前两位是45时，共有A₄³=4×3=12个，
当前两位是43时，共有A₄²=4×3=12个，去掉4301即可，即有12-1=11个．
根据分类加法原理得到共有：60+12+12-1=83个．
（4）个位数上的数字是0的五位数有A₅⁴个；个位数上的数字是5的五位数有A₄¹A₄³个．
故满足条件的五位数的个数共有A₅⁴+A₄¹A₄³=216个．

点评 本题是考查排列组合问题，是一个综合题，包括数字问题中可能遇到的所有情况，同学们注意分析问题，加以比较，争取做到举一反三．