Question

11．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）的最小值是（　　）

• A． -2
• B． -1
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由题意画出草图分析，由于在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，可得  $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM}$，则$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）=$\overrightarrow{OA}$•2$\overrightarrow{OM}$，而|$\overrightarrow{AM}$|=|$\overrightarrow{OA}$|+|$\overrightarrow{OM}$|=2≥2$\sqrt{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OM}|}$，利用均值不等式即可求得$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）的最小值．

解答 解：由题意画出草图：

由于点M为△ABC中边BC的中点，∴$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）=$\overrightarrow{OA}•2\overrightarrow{OM}$=-2|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OM}$|．
∵O为中线AM上的一个动点，即A、O、M三点共线，
∴|$\overrightarrow{AM}$|=|$\overrightarrow{OA}$|+|$\overrightarrow{OM}$|=2≥2$\sqrt{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OM}|}$（当且仅当“$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OM}|$”时取等号），得|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OM}$|≤1，
又$\overrightarrow{OA}$•2$\overrightarrow{OM}$=-2|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OM}$|≥-2，
则$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）的最小值为-2．
故选：A．

点评 本题考查了三角形的中线，两向量的和的平行四边形法则，均值不等式及不等式的性质，是中档题．