题目内容
6．已知函数f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-$\frac{1}{x}$]=2，则f（2016）=（ ）| A． | $\frac{1}{2016}$ | B． | $\frac{2015}{2016}$ | C． | $\frac{2017}{2016}$ | D． | $\frac{4033}{2016}$ |
分析 由条件f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数以及f[f（x）-$\frac{1}{x}$]=2，可知f（x）-$\frac{1}{x}$等于常数a，即f（x）=$\frac{1}{x}+a$，再利用f（a）=2，解出a=1，故f（x）=$\frac{1}{x}$+1，代入x=2016，即可计算出答案．
解答 ∵f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，
∴存在唯一的正实数a，使得f（a）=2，
∵对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-$\frac{1}{x}$]=2，
∴f（x）-$\frac{1}{x}$=a，即f（x）=$\frac{1}{x}$+a，
∵f（a）=2，∴$\frac{1}{a}$+a=2，得a=1（舍负），
∴f（x）=$\frac{1}{x}+1$，
∴f（2016）=$\frac{1}{2016}$+1=$\frac{2017}{2016}$．
故选C．
点评 本题考查了函数的单调性，并利用函数的单调性确定f（x）-$\frac{1}{x}$等于常数a是解决本题关键，再利用f（a）=2求出函数的解析式，从而解决问题．
练习册系列答案
提分百分百检测卷单元期末测试卷系列答案
小学期末标准试卷系列答案
相关题目
16．已知集合A={x∈Z|-1≤x＜3}，B={1，2，3}，则A∩B为（ ）
| A． | {-1，0，1，2} | B． | {1，2，3} | C． | {1，2} | D． | ∅ |
17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2x+1\\ f（x-3）\end{array}$$\begin{array}{l}，x≤0\\，x＞0\end{array}$，则f（2017）等于（ ）
| A． | -1 | B． | 1 | C． | -3 | D． | 3 |
