Question

设△ABC的三内角A，B，C 所对边的长分别为a，b，c，设向量

p

=（a+c，b），

q

=（b-a，c-a）且

p

，

q

平行．
（1）求角C的大小；         
（2）记

a+b

c

=λ，求λ的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形,平面向量及应用

分析：（1）运用向量共线的坐标表示和余弦定理，即可得到角C；
（2）运用正弦定理和两角和差的正弦公式化简，再由正弦函数的图象和性质，计算即可得到所求范围．

解答： 解：（1）由于向量

p

=（a+c，b），

q

=（b-a，c-a）且

p

，

q

平行，
则（a+c）（c-a）=b（b-a），即a²+b²-c²=ab，
由余弦定理可得，cosC=

1

2

，
C为三角形的内角，则C=60°；                                      
（2）由正弦定理可得，λ=

a+b

c

=

sinA+sinB

sinC

=

2

3

[sinA+sin（120°-A）]=

2

3

（sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA）
=

3

sinA+cosA=2sin（A+30°），
由0°＜A＜120°，则30°＜A+30°＜150°，
则

1

2

＜sin（A+30°）≤1，
即有λ∈（1，2]．

点评：本题考查向量的共线的坐标表示，考查余弦定理和正弦定理的运用，考查两角和差的正弦公式一级正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．