Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）与过焦点且斜率为1的直线交于A，B两点，若|AB|=2．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点P（1，

2p

）作两条直线PE，PF交抛物线于点E、F，若两直线互相垂直，求证：EF恒过定点，并求出此点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设直线AB：y=x-

p

2

，联立方程消去y，得到x²-3px+

p2

4

=0，运用韦达定理和抛物线的定义，即可求出p，从而得到方程；
（2）可设E（y₁²，y₁），F（y₂²，y₂），且P（1，1），由PE与PF垂直，得

PE

•

PF

=0即有y₁y₂=-（y₁+y₂）-2，当y₁+y₂≠0时，写出直线方程，化简判断直线恒过定点（2，-1）；当y₁+y₂=0时，化简得到直线EF：x=2，即可求出定点坐标．

解答： （1）解：由抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为（

p

2

，0），
设直线AB：y=x-

p

2

，
由

y2=2px y=x- p 2

得x²-3px+

p2

4

=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=3p，
由抛物线的定义得，|AB|=x₁+x₂+p=4p，
又|AB|=2，则p=

1

2

，
即抛物线方程是y²=x；
（2）证明：由题设可设E（y₁²，y₁），F（y₂²，y₂），且P（1，1），
由PE与PF垂直，得

PE

•

PF

=0，即（y₁-1）（y₂-1）+（y₁²-1）（y₂²-1）=0，
即（y₁-1）（y₂-1）[1+（y₁+1）（y₂+1）]=0，
即有y₁y₂=-（y₁+y₂）-2，
当y₁+y₂≠0时，直线EF：y-y₁=

1

y1+y2

（x-y₁²）．
即y=

1

y1+y2

（x+y₁y₂）=

1

y1+y2

[x-（y₁+y₂）-2]，
则直线恒过定点（2，-1）．
当y₁+y₂=0时，y₁=-y₂，由y₁y₂=-（y₁+y₂）-2=-2，
y₁²=2，直线EF：x=2，
故EF恒过定点，此点的坐标为（2，-1）．

点评：本题考查抛物线的方程、定义和性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查联立方程消去一个变量运用韦达定理，及直线恒过定点的问题，属于中档题．