Question

已知增函数f（x）=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，其中b∈R，a为正整数，且满足f（2）＜

4

5

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求满足f（t²-2t）+f（t）＜0的t的范围．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（0）=0，求得b=0；再由f（2）=

2a

1+4

＜

4

5

，a 为整数，求得a=1，可得f（x）的解析式．
（2）不等式即 f（t²-2t）＜f（-t），再根据f（x）=

x

1+x2

=

1

x+ 1 x

在（-1，1）上是增函数，可得-1＜t²-2t＜t＜1，由此求得t的范围．

解答： 解：（1）由f（0）=0，求得b=0，
∴f（x）=

ax

1+x2

．
再由f（2）=

2a

1+4

＜

4

5

，求得a＜2，再根据a 为整数，可得a=1，
故f（x）=

x

1+x2

，（-1＜x＜）．
（2）不等式即 f（t²-2t）＜-f（t）=f（-t），再根据f（x）=

x

1+x2

=

1

x+ 1 x

在（-1，1）上是增函数，
可得-1＜t²-2t＜t＜1，求得 0＜t＜1．

点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，注意函数的定义域，体现了转化的数学思想，属于基础题．