Question

对于两个定义域相同的函数f（x），g（x），若存在实数m，n使得h（x）=mf（x）+ng（x），则称函数h（x）是“函数f（x），g（x）的一个线性表达”．
（1）若偶函数h（x）是“函数f（x）=x²+3x，g（x）=3x+4的一个线性表达”，求h（2）；
（2）若h（x）=2x²+3x-1是“函数f（x）=x²+ax，g（x）=x+b（a，b∈R，ab≠0）的一个线性表达”，求a+2b的取值范围．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）先用待定系数法表示出偶函数h（x），再根据其是偶函数这一性质得到引入参数的方程，求出参数的值，即得函数的解析式，代入自变量求值即可．
（2）先用待定系数法表示出偶函数h（x），再根据同一性建立引入参数的方程求参数，然后再求a+2b的取值范围．

解答： 解：（1）设h（x）=m（x²+3x）+n（3x+4）=mx²+3（m+n）x+4n，
∵h（x）是偶函数，∴m+n=0，∴h（2）=4m+4n=0；（4分）
（2）设h（x）=2x²+3x-1=m（x²+ax）+n（x+b）=mx²+（am+n）x+nb
∴

m=2 am+n=3 nb=-1

得

a= 3-n 2 b=- 1 n

∴a+2b=

3

2

-

n

2

-

2

n

（8分）
由ab≠0知，n≠3，
∴a+2b∈（-∞，-

2

3

）∪(-

2

3

，-

1

2

]∪[

7

2

，+∞)（12分）

点评：本题考点是函数的奇偶性与单调性综合，考查了利用偶函数建立方程求参数以及利用同一性建立方程求参数，本题涉及到函数的性质较多，综合性，抽象性很强，做题时要做到每一步变化严谨，才能保证正确解答本题．