Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AB=2BC=2CD=2，点E为PA中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；
（Ⅱ）求证：平面PBC⊥平面PAB；
（Ⅲ）若∠PDA=

π

4

，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取PB中点F，连结EF，CF，由已知条件推导出四边形EFCD是平行四边形，由此能证明DE∥平面PBC．
（Ⅱ）由线面垂直得PA⊥BC，再由AB⊥BC，得BC⊥平面PAB，由此能证明平面PBC⊥平面PAB．
（Ⅲ）求出棱锥的高，即可求四棱锥P-ABCD的体积．

解答： （Ⅰ）证明：取PB中点F，连结EF，CF，
∵E是PA中点，∴EF平行且等于

1

2

AB，
∵AB∥CD，AB=2BC=2CD=2，
∴EF平行且等于CD，∴四边形EFCD是平行四边形，
∴DE∥CF，
∵DE不包含于平面PBC，CF?平面PBC，
∴DE∥平面PBC．
（Ⅱ）证明：∵PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，
∴PA⊥BC，
∵AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB．
（Ⅲ）解：∵ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AB=2BC=2CD=2，
∴AD=

2

，
∵PA⊥底面ABCD，∠PDA=

π

4

，
∴PA=

2

，
∴四棱锥P-ABCD的体积为

1

3

×

1

2

×(1+2)×1×

2

=

2

2

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查锥体体积的求法，属于中档题．