Question

3．已知a＞0，函数$f（x）=asin2x-\sqrt{3}cos2x+1$的最大值为3．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）的最大值求出a的值，化函数f（x）为正弦型函数，
由函数y=sinx的单调性求出f（x）的单调递减区间；
（2）根据x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]求出2x-$\frac{π}{3}$的范围，
由正弦函数的图象与性质求出f（x）的值域．

解答 解：（1）函数$f（x）=asin2x-\sqrt{3}cos2x+1$的最大值为3，
∴a²+${（-\sqrt{3}）}^{2}$=（3-1）²=4；
又a＞0，∴a=1；
∴函数f（x）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+1
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1；
∵函数y=sinx的单调递减区间为[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]，k∈Z；
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
解得kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，k∈Z；
∴f（x）的单调递减区间为[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z；
（2）x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]时，2x∈[$\frac{π}{2}$，π]，
2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1∈[2，3]；
∴f（x）的值域是[2，3]．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，是中档题．