Question

6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（-2，0），B（0，-2），C（cosφ，sinφ），其中0＜φ＜π．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{5}{3}$，求sin2φ的值；
（Ⅱ）若|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{3}$，求$\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{OC}$的夹角θ．

Answer 1

分析 （I）$\overrightarrow{AC}$=（cosφ+2，sinφ），$\overrightarrow{BC}$=（cosφ，sinφ+2），利用$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{5}{3}$，可得cosφ+sinφ=$\frac{1}{3}$，两边平方即可得出．
（II）由|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{3}$，可得$\sqrt{（cosφ-2）^{2}+si{n}^{2}φ}$=$\sqrt{3}$，化为：cosφ=$\frac{1}{2}$，0＜φ＜π．解答φ．利用cosθ=$\frac{\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OB}||\overrightarrow{OC}|}$，即可得出．

解答 解：（I）$\overrightarrow{AC}$=（cosφ+2，sinφ），$\overrightarrow{BC}$=（cosφ，sinφ+2），$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{5}{3}$，
∴cosφ（cosφ+2）+sinφ（sinφ+2）=$\frac{5}{3}$，
∴cosφ+sinφ=$\frac{1}{3}$，
两边平方可得：sin2φ=-$\frac{8}{9}$．
（II）∵|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{3}$，∴$\sqrt{（cosφ-2）^{2}+si{n}^{2}φ}$=$\sqrt{3}$，化为：cosφ=$\frac{1}{2}$，∵0＜φ＜π．
∴φ=$\frac{π}{3}$．
∴C$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OB}||\overrightarrow{OC}|}$=$\frac{-\sqrt{3}}{2×1}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴θ=$\frac{5π}{6}$．
即$\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{OC}$的夹角为$\frac{5π}{6}$．

点评 本题考查了数量积运算性质、向量夹角公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．