Question

19．（1）已知x∈[-3，2]，求f（x）=$\frac{1}{{4}^{x}}$-$\frac{1}{{2}^{x}}$+1的最小值与最大值．
（2）已知函数f（x）=a${\;}^{{x}^{2}-3x+3}$在[0，2]上有最大值8，求正数a的值．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数和指数函数的性质即可求出最值，
（2）根据指数函数和二次函数的性质即可求出

解答 解：（1）：f（x）=$\frac{1}{{4}^{x}}$-$\frac{1}{{2}^{x}}$+1=（$\frac{1}{{2}^{x}}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
∵x∈[-3，2]，
∴$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{{2}^{x}}$≤8．则当$\frac{1}{{2}^{x}}$=$\frac{1}{2}$，即x=1时，f（x）有最小值$\frac{3}{4}$；
当$\frac{1}{{2}^{x}}$=8，即x=-3时，f（x）有最大值57．
（2）：设g（x）=x²-3x+3=（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，当x∈[0，2]时，g（x）_max=3，g（x）_min=$\frac{3}{4}$，
当0＜a＜1时，a${\;}^{\frac{3}{4}}$=8，解得a=16，矛盾；
当a＞1时，a³=8，解得a=2．
综上所述，a=2．

点评 本题考查了二次函数和指数函数的性质，利用函数的单调性求函数的最值，属于中档题