Question

2．我们把平面直角坐标系中，函数y=f（x），x∈D上的点P（x，y），满足x∈N^*，y∈N^*的点称为函数y=f（x）的“正格点”．
（Ⅰ）若函数f（x）=sinmx，x∈R，m∈（3，4）与函数g（x）=lgx的图象有正格点交点，求m的值，并写出两个函数图象的所有交点个数．
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的m值，函数f（x）=sinmx，$x∈（{0，\frac{5}{7}}]$时，不等式log_ax＞sinmx恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）根据正弦函数的性质可知正格点交点坐标为（10，1），从而求出m的值，根据图象判断交点个数．
（II）令y=log_ax的最小值大于f（x）的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）若y=sinmx与函数y=lgx的图象有正格点交点，则此交点必为（10，1），
∴sin10m=1，即10m=$\frac{π}{2}$+2kπ，m=$\frac{π}{20}$+$\frac{kπ}{5}$，k∈Z．
∵m∈（3，4），∴$m=\frac{21π}{20}$．
作出y=sinmx与y=lgx的函数图象，如图所示：

根据图象可知：两个函数图象的所有交点个数为10个．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=sin\frac{21π}{20}x$，x∈（0，$\frac{5}{7}$]，
i）当a＞1时，不等式log_ax＜0，而sin$\frac{21π}{20}x$＞0，故不等式log_ax＞sinmx无解．
ii）当0＜a＜1时，由图函数y=log_ax在$x∈（{0，\frac{10}{21}}]$上为减函数，
∵关于x的不等式log_ax＞sinmx在（0，$\frac{5}{7}$]上恒成立，
∴log_a$\frac{10}{21}$＞1，解得：$\frac{10}{21}＜a＜1$．
综上，$\frac{10}{21}＜a＜1$．

点评 本题考查了方程的解与函数图象的关系，函数恒成立问题与函数最值计算，属于中档题．