Question

7．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上．设∠DAB=θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），L为等腰梯形ABCD的周长．
（1）求周长L与θ的函数解析式；
（2）试问周长L是否存在最大值？若存在，请求出最大值，并指出此时θ的大小；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由于AB是圆O的直径，所以三角形ABD是直角三角形，连BD，过D作DE⊥AB于E，则由射影定理可知AD²=AE•AB，从而可用腰长表示上底长，进而可求梯形的周长y与腰长x之间的函数关系式，根据上底长，可确定函数的定义域；
（2）令t=cosθ，由$0＜θ＜\frac{π}{2}$，知t∈（0，1）．利用配方法可知函数函数在（0，$\frac{1}{2}$）上单调递增，在（$\frac{1}{2}$，1）单调递减，由此可求周长y的最大值．

解答 解：（1）连接BD，则∠ADB=90°，
∴AD=BC=4cosθ．…（2分）
作DE⊥AB于M，CN⊥AB于N，
得AM=BN=ADcosθ=4cos²θ，
∴DC=AB-2AM=4-8cos²θ． …（4分）
∴△ABC的周长L=AB+2AD+DC=4+8cosθ+（4-8cos²θ）=8+8cosθ-8cos²θ． …（5分）
（2）令t=cosθ，由$0＜θ＜\frac{π}{2}$，知t∈（0，1）．
则$L=-8{t^2}+8t+8=-8{（t-\frac{1}{2}）^2}+10$，…（8分）
当t=$\frac{1}{2}$，即$cosθ=\frac{1}{2}$，$θ=\frac{π}{3}$时，L有最大值10．
∴当θ=60°时，L存在最大值10．…（10分）

点评 本题以半圆为载体，考查函数模型的构建，关键是腰长表示上底长，同时考查二次函数的最值求法．