Question

已知函数f（x）=x²-ax+

a

2

，x∈[0，1]，求f（x）的最小值g（a）的表达式，并求出g（a）的最大值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数f（x）=(x-

a

2

)2+

a

2

-

a2

4

，x∈[0，1]，利用二次函数的性质、分类讨论求得f（x）的最小值g（a），再画出函数g（a）的图象，数形结合求得g（a）的最大值．

解答： 解：∵函数f（x）=x²-ax+

a

2

=(x-

a

2

)2+

a

2

-

a2

4

，x∈[0，1]，
∴当

a

2

∈[0，1]时，f（x）的最小值g（a）=f（

a

2

）=

a

2

-

a2

4

；
当

a

2

＜0时，函数f（x）在[0，1]上增函数，f（x）的最小值g（a）=f（0）=

a

2

；
当

a

2

＞1时，函数f（x）在[0，1]上减函数，f（x）的最小值g（a）=f（1）=1-

a

2

．
综上可得，g（a）=

a 2 ，a＜0 a 2 - a2 4 ，a∈[0，2] 1- a 2 ，a＞2

，画出函数g（a）的图象，如图所示：
显然，函数g（a）在x=1处取得最大值为g（1）=

1

4

．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了数形结合、分类讨论的数学思想，属基础题．