Question

已知函数f（x）=

sinπx(0≤x≤1) log2016x(x＞1)

，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（　　）

• A、（0，2016）
• B、（0，2016]
• C、（0，504）
• D、（0，504]

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用

分析：先判断函数的性质以及图象的特点，利用基本不等式和不等式的性质，结合数形结合的思想去解决．

解答： 解：当0≤x＜1时，函数f（x）=sinπx的对称轴为x=

1

2

．
当x＞1时，由log₂₀₁₆x=1，解得x=2016．
若a，b，c互不相等，不妨设a＜b＜c，
因为f（a）=f（b）=f（c），
所以由图象可知0＜a＜

1

2

，

1

2

＜b＜1，1＜c＜2016，
且

a+b

2

=

1

2

，即a+b=1，
由于a+b＞2

ab

，则0＜ab＜

1

4

，
因为1＜c＜2016，
所以0＜abc＜504，
所以abc的取值范围是（0，504）．
故选C．

点评：本题主要考查函数与方程的应用，考查三角函数的对称性，利用数形结合是解决本题的关键．