Question

（Ⅰ）已知a和b是任意非零实数．证明：

|2a+b|+|2a-b|

|a|

≥4；
（Ⅱ）若不等式|2x+1|-|x+1|＞k（x-1）-

1

4

恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）利用双绝对值不等式的性质|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|即可证得结论成立；
（Ⅱ）构造函数h（x）=|2x+1|-|x+1|=

-x，x≤-1 -3x-2，-1＜x＜- 1 2 x，x≥- 1 2

，作出y=h（x）与过定点（1，-

1

4

）的直线y=k（x-1）-

1

4

的图象，数形结合即可求得实数k的取值范围．

解答： 证明：（Ⅰ）|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|
∴

|2a+b|+|2a-b|

|a|

≥4．

（Ⅱ）记h（x）=|2x+1|-|x+1|=

-x，x≤-1 -3x-2，-1＜x＜- 1 2 x，x≥- 1 2

若不等式|2x+1|-|x+1|＞k（x-1）-

1

4

恒成立，
则函数h（x）的图象在直线y=k（x-1）-

1

4

的上方，

∵y=k（x-1）-

1

4

经过定点（1，-

1

4

），当x=-

1

2

时，y=h（x）取得最小值-

1

2

，
显然，当y=k（x-1）-

1

4

经过定点P（1，-

1

4

）与M（-

1

2

，-

1

2

）时，k_PM=

- 1 4 -(- 1 2 )

1-(- 1 2 )

=

1

6

，即k＞

1

6

；
当y=k（x-1）-

1

4

经过定点P（1，-

1

4

）与直线y=x平行时，k得到最大值1，
∴k∈(

1

6

，1]．

点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查绝对值不等式的性质，突出构造函数思想与数形结合思想的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．