题目内容
19．
某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数$y=\frac{a}{x}$图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，点P到l2的距离为2千米．以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy．（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；
（2）求直线AB的方程，并求出公路AB的长度（结果精确到1米）．
分析 （1）由题意得M（1，8），则a=8，故曲线段MPN的函数关系式为$y=\frac{8}{x}$，可得其定义域；
（2）根据直线和曲线相切，利用判别式△=0进行求解即可．
解答 解：（1）由题意得M（1，8），则a=8，故曲线段MPN的函数关系式为$y=\frac{8}{x}$，
又得$N（10，\frac{4}{5}）$，所以定义域为[1，10]．
（2）由（1）知P（2，4），设直线方程为y-4=k（x-2），
联立方程$y=\frac{8}{x}$，得kx2+2（2-k）x-8=0，
由判别式△=0得4（2-k）2+32k=4（k+2）2=0，得k=-2，
即直线AB的方程为y=-2x+8，
当x=0时，y=8，当y=0时，x=4，
即A（0，8），B（4，0），
则AB=$\sqrt{64+16}=\sqrt{80}$=4$\sqrt{5}$≈8944米．
点评 本题考查函数的应用问题，利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，确定函数关系是关键．
练习册系列答案
相关题目
如图所示，点F1（-1，0），F2（1，0），动点M到点F2的距离是$2\sqrt{2}$，线段MF1的中垂线交MF2于点P．
10．4位同学各自在阳光体育时间活动，可以选择足球和篮球两项运动中一项，则这两项活动都有同学选择的概率为（ ）
| A． | $\frac{1}{8}$ | B． | $\frac{3}{8}$ | C． | $\frac{5}{8}$ | D． | $\frac{7}{8}$ |
7．在复平面上，复数$\frac{2+4i}{1+i}$对应的点位于（ ）
| A． | 第一象限 | B． | 第三象限 | C． | 第二象限 | D． | 第四象限 |
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆W：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆所得的弦的弦长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，过点A的直线与椭圆W交于另一点C，