Question

11．已知函数f（x）=2|x-1|-|x-a|，a＞0．
（1）当a=2时，求不等式f（x）≤1的解集；
（2）若不等式f（x）≤5在区间[2，+∞）上有解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围得到不等式组，解出即可；（2）法一：求出f（x）的分段函数，通过讨论a的范围，求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可；
法二：求出f（x）的分段函数，通过讨论x的范围得到关于a的不等式组，求出a的范围即可．

解答 解：（1）a=2时，f（x）≤1可化为2|x+1|-|x-2|-1≤0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x≤-1}\\{-x-5≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜2}\\{3x-1≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{x+3≤0}\end{array}\right.$，
解得：-5≤x≤$\frac{1}{3}$，
故不等式的解集是：{x|-5≤x≤$\frac{1}{3}$}；
（2）法一：由a＞0，得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-（a+2），x≤-1}\\{3x+2-a，-1＜x＜a}\\{x+2+a，x≥a}\end{array}\right.$，
要使不等式f（x）≤5在区间[2，+∞）上有解，
则f（x）在区间[2，+∞）上的最小值f（x）_min≤5，
当0＜a＜2时，f（x）_min=4+a≤5，解得：0＜a≤1，
a≥2时，f（x）_min=8-a≤5，解得：a≥3，
∴a的范围是（0，1]∪[3，+∞）；
法二：由a＞0，得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-（a+2），x≤-1}\\{3x+2-a，-1＜x＜a}\\{x+2+a，x≥a}\end{array}\right.$，
要使不等式f（x）≤5在区间[2，+∞）上有解，
只需3x+2-a≤5，-1＜x＜a①或x+2+a≤5，x≥a②在[2，+∞）有解，
由①得：x≤1+$\frac{a}{3}$，-1＜x＜a，即$\left\{\begin{array}{l}{1+\frac{a}{3}≥2}\\{a＞0}\end{array}\right.$，即a≥3，
由②式得：x≤3-a，x≥a，要使②式在区间[2，+∞）有解，
则$\left\{\begin{array}{l}{3-a≥2}\\{a＞0}\end{array}\right.$，即0＜a≤1，
综上，a的范围是（0，1]∪[3，+∞）．

点评 本题考查了绝对值不等式问题，考查分段函数问题，考查函数的最值以及分类讨论思想，是一道中档题．