Question

2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{4}（x+1）|，-1＜x＜1}\\{cos\frac{π}{3}x，1≤x≤6}\end{array}\right.$，若存在实数x₁，x₂，x₃，x₄，满足x₁＜x₂＜x₃＜x₄，且f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），则$\frac{（{x}_{3}-1）（{x}_{4}-1）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$的取值范围是（　　）

• A． （0，4）
• B． （0，$\frac{7}{4}$）
• C． （$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$）
• D． （$\frac{1}{4}$，$\frac{7}{8}$）

Answer 1

分析 由题意，可得-1＜x₁＜0＜x₂＜1＜x₃＜1.5，4.5＜x₄＜6，进而确定（x₁+1）（x₂+1）=1，x₃+x₄=6，则$\frac{（{x}_{3}-1）（{x}_{4}-1）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$=x₃x₄-5=x₃（6-x₃）-5=-（x₃-3）²+4在（1，1.5）递增，即可求出$\frac{（{x}_{3}-1）（{x}_{4}-1）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$的取值范围．

解答 解：由题意，可得-1＜x₁＜0＜x₂＜1＜x₃＜1.5，4.5＜x₄＜6，
则|log₄（x₁+1）|=|log₄（x₂+1）|，即为-log₄（x₁+1）
=log₄（x₂+1），
可得（x₁+1）（x₂+1）=1，
由y=cos$\frac{π}{3}$x的图象关于直线x=3对称，可得x₃+x₄=6，
则$\frac{（{x}_{3}-1）（{x}_{4}-1）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$=x₃x₄-5=x₃（6-x₃）-5=-（x₃-3）²+4在（1，1.5）递增，
即有$\frac{（{x}_{3}-1）（{x}_{4}-1）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$的取值范围是（0，$\frac{7}{4}$）．
故选B．

点评 本题考查分段函数的运用，考查三角函数知识，考查配方法的运用，确定（x₁+1）（x₂+1）=1，x₃+x₄=6是关键．