Question

1．设P、Q是单位正方体AC₁的面AA₁D₁D、面A₁B₁C₁D₁的中心．
（1）求∠D₁B₁C的大小．
（2）证明：PQ∥平面AA₁B₁B．
（3）求异面直线PQ和B₁C所成的角．

Answer 1

分析 （1）连接CD₁，由等边三角形得出∠D₁B₁C的大小；
（2）连接AD₁，AB₁，证明PQ∥AB₁即可；
（3）连接AC，找出异面直线PQ和B₁C所成的角，求出即可．

解答 解：（1）如图所示；
连接CD₁，则△D₁B₁C是等边三角形，
∴∠D₁B₁C=60°；
（2）证明：连接AD₁，AB₁，则P、Q分别AD₁、B₁D₁的中点，
∴PQ∥AB₁，
又PQ?平面AA₁B₁B，AB₁?平面AA₁B₁B，
∴PQ∥平面AA₁B₁B；
（3）连接AC，∵PQ∥AB₁，
∠AB₁C为异面直线PQ和B₁C所成的角或补角，
∵△AB₁C为等边三角形，∴∠AB₁C=60°，
∴异面直线PQ和B₁C所成的角为60°．

点评 本题考查了空间中的线线平行与线面平行问题，也考查了空间角的定义与计算问题，是综合性题目．