Question

13．求下列函数的值域．
（1）f（x）=4^x-2^x+1；
（2）f（x）=9^x-3^x+3+20；
（3）y=x-4$\sqrt{x}$+6（1≤x≤25）

Answer 1

分析 （1）由函数解析式设t=2^x且t＞0，代入原函数化简后，由二次函数的性质求出值域；
（2）由函数解析式设t=3^x且t＞0，代入原函数化简后，由二次函数的性质求出值域；
（3）由函数解析式设$t=\sqrt{x}$，由x的范围求出t的范围，代入原函数化简后，由二次函数的性质求出值域．

解答 解：（1）设t=2^x，则t＞0，
原函数变为：y=t²-t+1=$（t-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}$，
因为t＞0，所以y≥$\frac{3}{4}$，
故函数f（x）的值域是[$\frac{3}{4}$，+∞）；
（2）由题意得f（x）=（3^x）²-3³•3^x+20，
设t=3^x，则t＞0，
原函数变为：y=t²-27t+20=${（t-\frac{27}{2}）}^{2}-\frac{649}{4}$，
因为t＞0，所以y≥$-\frac{649}{4}$，
故函数f（x）的值域是[$-\frac{649}{4}$，+∞）；
（3）设$t=\sqrt{x}$，由1≤x≤25得1≤t≤5，
原函数变为：y=t²-4t+6=（t-2）²+2，
因为1≤t≤5，
所以当t=2时取到最小值2，当t=5时取到最大值11，
则2≤y≤11，
故函数的值域是[2，11]．

点评 本题考查利用换元法求函数的值域，考查指数函数、二次函数的性质的应用，属于中档题．