Question

2．正△ABC的三个顶点都在球O的球面上，AB=AC=2，若三棱锥O-ABC的体积为2，则该球的表面积为$\frac{160π}{3}$．

Answer 1

分析 根据题意求出正△ABC的面积以及点O到底面的距离，再求出球的半径，即可求出球的表面积．

解答 解：正△ABC的三个顶点都在以O为球心的球面上，
且AB=AC=BC=2，
取BC中点D，连结AD，OD，
过O作OE⊥平面ABC，则OE∩AD=E，如图所示；
∴AD=$\sqrt{{2}^{2}{-1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
AE=$\frac{2}{3}$AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∵三棱锥O-ABC的体积为2，
∴$\frac{1}{3}$×$\sqrt{3}$×OE=2，
解得OE=2$\sqrt{3}$，
∴球的半径为OA=$\sqrt{{OE}^{2}{+AE}^{2}}$=$\sqrt{{（2\sqrt{3}）}^{2}{+（\frac{2\sqrt{3}}{3}）}^{2}}$=$\sqrt{\frac{40}{3}}$，
∴球的表面积为S=4π×OA²=$\frac{160π}{3}$．
故答案为：$\frac{160π}{3}$．

点评 本题考查了球的表面积求法问题，也考查了空间想象能力，是中档题．