Question

12．椭圆的中心为坐标原点，长、短轴长之比为$\frac{2}{1}$，一个焦点是（0，-2），试求椭圆的离心率和椭圆的标准方程．

Answer 1

分析 根据题意，由椭圆的焦点坐标可得a²-b²=4①，又由其长、短轴长之比为$\frac{2}{1}$，可得$\frac{2a}{2b}$=$\frac{2}{1}$②，联立①②，解可得a²、b²的值，由椭圆的离心率公式计算椭圆的离心率，将a²、b²的值代入椭圆的方程即可得椭圆的标准方程．

解答 解：根据题意，椭圆的一个焦点是（0，-2），即c=2，则有a²-b²=4，①
又由其长、短轴长之比为$\frac{2}{1}$，即$\frac{2a}{2b}$=$\frac{2}{1}$，②
联立①②，解可得a²=$\frac{16}{3}$，b²=$\frac{4}{3}$，
即a=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，其离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
其标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{\frac{16}{3}}$+$\frac{{x}^{2}}{\frac{4}{3}}$=1．

点评 本题考查椭圆的几何性质，关键是求出椭圆的标准方程，注意椭圆的焦点在y轴上．