Question

5．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），若f（$\frac{π}{2}$）=f（$\frac{2π}{3}$）=-f（$\frac{π}{6}$），且f（x）在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上单调，则f（x）的最小正周期是（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． π

Answer 1

分析 由f（$\frac{π}{2}$）=f（$\frac{2π}{3}$）求出函数的一条对称轴，结合f（x）在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上具有单调性，且f（$\frac{π}{2}$）=-f（$\frac{π}{6}$），可得函数的半周期，则周期可求．

解答 解：由f（$\frac{π}{2}$）=f（$\frac{2π}{3}$）得函数关于x=$\frac{\frac{π}{2}+\frac{2π}{3}}{2}$=$\frac{7π}{12}$对称，
则x=$\frac{π}{2}$离最近对称轴距离为$\frac{7π}{12}-\frac{π}{2}=\frac{π}{12}$．
又f（$\frac{π}{2}$）=-f（$\frac{π}{6}$），则f（x）有对称中心（$\frac{π}{3}$，0），
由于f（x）在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上具有单调性，
则$\frac{π}{2}-\frac{π}{6}$≤$\frac{1}{2}$T⇒T≥$\frac{2π}{3}$，从而$\frac{7π}{12}-\frac{π}{3}$=$\frac{T}{4}$⇒T=π．
故选：D．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用条件求出函数的对称轴和对称中心，结合函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．