Question

10．如图，在△AOB中，∠AOB=$\frac{3π}{4}$，OA=6，M为边AB上一点，M到边OA，OB的距离分别为2，2$\sqrt{2}$，则AB的长为6$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 利用面积法求出OB=6$\sqrt{2}$，再根据余弦定理即可求出

解答 解：如图所示，由题意可得MC=2$\sqrt{2}$，MD=2，且MC⊥OB，MD⊥OA，
∵S_△AOB=S_△MOB+S_△AOM，
∴$\frac{1}{2}$OA•OB•sin∠AOB=$\frac{1}{2}$OB•MC+$\frac{1}{2}$OA•MD，
即6×$\frac{\sqrt{2}}{2}$OB=2$\sqrt{2}$OB+6×2，
解得OB=6$\sqrt{2}$，
由余弦定理可得AB²=OB²+OA²-2OB•OA•cos∠AOB=72+36-2×6$\sqrt{2}$×6×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=180，
∴AB=6$\sqrt{5}$，
故答案为：6$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了三角形的面积公式和余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题