题目内容
4．设F1，F2分别为椭圆C1：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与双曲线C2：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{{b}_{1}}^{2}}$=1（a1、b1＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2=90°，若MF1•MF2=ab，则双曲线C1的离心率为（ ）| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | $\frac{\sqrt{6}}{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{6}}{3}$ |
分析 利用椭圆与双曲线的定义列出方程，通过勾股定理求解离心率即可．
解答 解：由椭圆与双曲线的定义，知|MF1|+|MF2|=2a，|MF1|-|MF2|=2a1，
所以|MF1|=a+a1，|MF2|=a-a1．
因为∠F1MF2=90°，
所以|MF1|2+|MF2|2=4c2，
|MF1|•|MF2|=ab，即a2-a12=ab，①
即（a+a1）2+（a-a1）2=4c2，
化为a2+a12=2c2，②
由a2-b2=c2，
①+②可得2a2=2c2+ab，
即有a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$c，b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c，
②-①可得2a12=2c2-ab
=2c2-$\frac{2}{3}$c2=$\frac{4}{3}$c2，
则双曲线的离心率为$\frac{c}{{a}_{1}}$=$\sqrt{\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故选：C．
点评 本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查转化思想和化简整理的运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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14．设点A（0，1），B（3，2），则$\overrightarrow{AB}$=（ ）
| A． | （-1，4） | B． | （1，3） | C． | （3，1） | D． | （7，4） |
如图，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2，过点F2作直线l交椭圆于M、N两点，△F1MN的周长为8．
12．已知直线 l1：mx+（ m+1）y+2=0，l 2：（ m+1）x+（ m+4）y-3=0，则“m=-2”是“l1⊥l2”的（ ）
| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | ||
| C． | 充要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |