Question

19．已知函数 f（x）=2sin²ωx+2sinωxcosωx-1（ω＞0）的周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用查三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得ω的值．
（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵函数 f（x）=2sin²ωx+2sinωxcosωx-1=sin2ωx-cos2ωx=$\sqrt{2}$sin（2ωx-$\frac{π}{4}$）（ω＞0），
故该函数的周期为$\frac{2π}{2ω}$=π，∴ω=1，f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
（Ⅱ）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上，2x-$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$]，
∵sin$\frac{π}{12}$=sin（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=sin$\frac{π}{3}$cos$\frac{π}{4}$-cos$\frac{π}{3}$sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
sin（2x-$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，∴f（x）∈[$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，1]．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．