Question

14．已知数列{a_n}满足${2^{{a_{n-1}}}}+{2^{{a_{n+1}}}}={2^{1+{a_n}}}，n≥2，n∈{N^*}$，且a₁=1，a₂=2，则a₁₆=（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 推导出${2}^{{a}_{3}}=6$，从而a₃=log₂6，进而${2}^{2}+{2}^{{a}_{4}}={2}^{1+lo{g}_{2}6}$，求出a₄=log₂8=3，由此猜想a_n=log₂（2n），从而能求出a₁₆的值．

解答 解：∵数列{a_n}满足${2^{{a_{n-1}}}}+{2^{{a_{n+1}}}}={2^{1+{a_n}}}，n≥2，n∈{N^*}$，且a₁=1，a₂=2，
∴$2+{2}^{{a}_{3}}={2}^{1+2}$=8，∴${2}^{{a}_{3}}=6$，
∴a₃=log₂6，
${2}^{2}+{2}^{{a}_{4}}={2}^{1+lo{g}_{2}6}$，∴${2}^{{a}_{4}}=2×6-4=8$，
∴a₄=log₂8=3．
∵a₁=1=log₂2，
a₂=2=log₂4，
a₃=log₂6，
a₄=log₂8=3，
由此猜想a_n=log₂（2n），
∴a₁₆=log₂32=5．
故选：B．

点评 本题考查数列的第16项的求法，考查数列的递推式、指数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．