Question

15．如图，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，焦距为2，过点F₂作直线l交椭圆于M、N两点，△F₁MN的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l分别交直线y=$\frac{c}{a}$x，y=-$\frac{c}{a}$x于P，Q两点，求$\frac{{S}_{△OMN}}{|PQ|}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的焦距为2，过点F₂作直线l交椭圆于M、N两点，△F₁MN的周长为8，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+1，联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得：（3m²+4）y²+6my-9=0，由此利用韦达定理、弦长公式、三角形面积公式，结合已知条件能求出$\frac{{S}_{△OMN}}{|PQ|}$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，焦距为2，
过点F₂作直线l交椭圆于M、N两点，△F₁MN的周长为8．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2c=2}\\{4a=8}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去x，整理，得：（3m²+4）y²+6my-9=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，
设P（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，得${y}_{3}=\frac{1}{2-m}$，同理${y}_{4}=\frac{-1}{2+m}$，
|PQ|=$\sqrt{1+{m}^{2}}|{y}_{3}-{y}_{4}|$=$\frac{4\sqrt{1+{m}^{2}}}{|4-{m}^{2}|}$，
∴$\frac{{S}_{△OMN}}{|PQ|}$=$\frac{|12-3{m}^{2}|}{2（3{m}^{2}+4）}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{12-3{m}^{2}}{2（3{m}^{2}+4）}，0≤{m}^{2}≤4}\\{\frac{3{m}^{2}-12}{2（3{m}^{2}+4）}，{m}^{2}＞4}\end{array}\right.$，
当0≤m²≤4时，$\frac{{S}_{△OMN}}{|PQ|}$=$-\frac{1}{2}+\frac{8}{3{m}^{2}+4}$∈[0，$\frac{3}{2}$]，
当m²＞4时，$\frac{{S}_{△OMN}}{|PQ|}$=$\frac{1}{2}-\frac{8}{3{m}^{2}+4}$∈（0，$\frac{1}{2}$），
∴$\frac{{S}_{△OMN}}{|PQ|}$的取值范围是[0，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积与线段长的比值的取值范围的求法，考查椭圆、韦达定理、弦长公式、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．