Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2n（n∈N^*）．
（Ⅰ）设b_n=

1

(an+1)(an+3)

，求数列{b_n}的前n项和T_n．
（Ⅱ）对于给定的数列{c_n}，如果存在实数p，q使得c_n+1=pc_n+q对于任意n∈N^*恒成立，我们称数列{c_n}是“M类数列”．
（ⅰ）判断数列{a_n}是否为“M类数列”？若是，求出实数p，q的值；若不是，请说明理由；
（ⅱ）数列{d_n}是“M类数列”，且满足d₁=2，d_n+d _n+1=3•2ⁿ（n∈N^*）求数列{d_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由bn=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．
（2）（ⅰ）由a_n=2n，a_n+1=a_n+2，得到数列{a_n}是“M类数列”，对应的实常数p、q的值分别为1、2．
（ⅱ）由已知得存在实常数p、q使得d_n+1=pd_n+q对于任意n∈N^*都成立，从而3•2ⁿ⁺¹=p•3•2ⁿ对于任意n∈N^*都成立，由此推导出{d_n}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出d_n=2ⁿ，n∈N^*．

解答： 解：（1）∵bn=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，
T_n=

1

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)
=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)=

n

6n+9

．
（2）（ⅰ）∵a_n=2n，∴a_n+1=a_n+2，
故数列{a_n}是“M类数列”，对应的实常数p、q的值分别为1、2．
（ⅱ）∵数列{d_n}是“M类数列”，
∴存在实常数p、q使得d_n+1=pd_n+q对于任意n∈N^*都成立，
∴d_n+2=pd_n+1+q，故d_n+1+d_n+2=p（d_n+d_n+1）+2q，
又d_n+d_n+1=3•2ⁿ，n∈N^*，∴3•2ⁿ⁺¹=p•3•2ⁿ对于任意n∈N^*都成立，
即3•2ⁿ（p-2）-2q=0对于任意n∈N^*都成立，因此p=2，q=0
此时d_n+1=2d_n，即

dn+1

dn

=2，（n∈N^*）
∴{d_n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴d_n=2ⁿ，n∈N^*．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，考查“M类数列”的判断与应用，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．