Question

已知函数f（x）=|x-1|，g（x）=-x²+6x-5．
（Ⅰ）用分段函数的形式表示g（x）-f（x），并求g（x）-f（x）的最大值；
（Ⅱ）若g（x）≥f（x），求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）分x≥1，x＜1可去掉绝对值，得到g（x）-f（x）的表达式，再考虑各段的最值，即可得到函数的最大值；
（Ⅱ）讨论x≥1时，x＜1时的g（x）≥f（x）的解集，注意运用二次不等式的解法，最后再求并集．

解答： 解：（Ⅰ）g(x)-f(x)=(-x2+6x-5)-|x-1|=

-x2+5x-4 x≥1 -x2+7x-6 x＜1

，
则由于x＜1时，g（x）-f（x）＜0，x≥1时，g（x）-f（x）可取正数．
则有g（x）-f（x）的最大值在[1，4]上取得，
∴g（x）-f（x）=（-x²+6x+5）-（x-1）=-（x-

5

2

）²+

9

4

≤

9

4

∴当x=

5

2

时，g（x）-f（x）取到最大值是

9

4

．             
（Ⅱ）当x≥1时，f（x）=x-1；
∵g（x）≥f（x），
∴-x²+6x-5≥x-1；                                        
整理，得（x-1）（x-4）≤0，
解得x∈[1，4]；                                         
当x＜1时，f（x）=1-x；
∵g（x）≥f（x），
∴-x²+6x-5≥1-x，
整理，得（x-1）（x-6）≤0，
解得x∈[1，6]，
又

x＜1 1≤x≤6

，所以不等式组无解                           
综上，x的取值范围是[1，4]．

点评：本题考查分段函数及运用，考查分段函数的最值和解不等式，注意各段的自变量的范围，考查运算能力，属于中档题．