Question

已知椭圆的焦点为F（1，0），离心率e=

1

2

，过点F的直线l交椭圆于M、N两点，MN的中垂线交y轴于点P，求点P纵坐标的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：由已知得椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．当MN⊥x轴时，点P纵坐标为0．当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y=k（x-1）（k≠0）．由

y=k(x-1) 3x2+4y2=12

，得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0．由已知推导出点P纵坐标y₀=

k

3+4k2

=

1

3 k

+4k．由此能求出点P纵坐标的取值范围．

解答： 解：设椭圆C的半焦距是c．依题意，得c=1．
因为椭圆C的离心率e=

c

a

=

1

2

，
所以a=2，c=2，b²=a²-c²=3．
故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
当MN⊥x轴时，显然y₀=0．
当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y=k（x-1）（k≠0）．
由

y=k(x-1) 3x2+4y2=12

，消去y整理得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点为Q（x₃，y₃），
则 x₁+x₂=

8k2

3+4k2

．
所以x₃=

x1+x2

2

=

4k2

3+4k2

，y₃=k（x₃-1）=

-3k

3+4k2

．
线段MN的垂直平分线方程为y+

3k

3+4k2

=-

1

k

（x-

4k2

3+4k2

）．
在上述方程中令x=0，得y₀=

k

3+4k2

=

1

3 k

+4k．
当k＜0时，

3

k

+4k≤-4

3

；
当k＞0时，

3

k

+4k≥4

3

．
所以-

3

12

≤y₀＜0，或0＜y₀≤

3

12

．
综上：y₀的取值范围是[-

3

12

，

3

12

]．

点评：本题考查点的纵坐标的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．