Question

定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=ax²+x，若对于?x∈[-1，1]，f（x+a）≤f（x）恒成立，则负数a的取值范围是（　　）

• A、[1-

  3

  ，0）
• B、[1-

  2

  ，0）
• C、（-

  1

  2

  ，1-

  2

  ]
• D、（-1，1-

  3

  ]

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据奇函数的性质和题意求出f（x）的解析式，再画出函数f（x+a）和f（x）图象，
解法一：由区间和图象对a分类：a≤-1和-1＜a＜0，根据“?x∈[-1，1]，f（x+a）≤f（x）恒成立”和图象求出a的范围；
解法二：根据图象得a的大致范围，结合选项进行排除，再由恒成立列出不等式，求出a的范围即可．

解答： 解：由题意知，定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=ax²+x，
当x＜0时，则-x＞0，f（x）=-f（-x）=-ax²+x，
∴f(x)=

ax2+x，x≥0 -ax2+x，x＜0

，
由a＜0画出函数的图象如图所示：
解法一：①当a≤-1时，|

1

a

|≤1，
则由图得x=0处f（x+a）的图象不在f（x）的下方，不符合题意舍去；
②当-1＜a＜0时，|

1

a

|＞1，
由图象得f（x+a）≤f（x）的解集为区间[x_A，x_B]，
由对称性得xA=

1

2a

-

a

2

，xB=-

1

2a

-

a

2

，
则对于任意x∈[-1，1]，f（x+a）≤f（x）恒成立，等价于[-1，1]⊆[

1

2a

-

a

2

，-

1

2a

-

a

2

]，
∴

- 1 2a - a 2 ≥1 1 2a - a 2 ≤-1

，解得1-

2

≤a＜0，
解法二：数形结合易得，-

1

2a

＞1，即a＞-

1

2

，排除A、D；
再结合图象，只要

1

2a

-

a

2

＜-1即可，
解得，1-

2

≤a＜0，
故选：B．

点评：本题考查函数的奇偶性，函数图象的平移变换，以及恒成立问题，解题的关键是正确画出函数的图象，考查数形结合思想和分类讨论思想．