Question

已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且对于任意的实数x，y有f（xy）=f（x）+f（y），当x＞1时，f（x）＞0．
（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）若f（2）=1，对任意实数t，不等式f（t²+1）-f（t²-kt+1）≤2恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）设出（0，+∞）上的任意两个实数x₁，x₂，且x₁＞x₂，由此可得f(

x1

x2

)＞0，结合f（xy）=f（x）+f（y），得f(x1)=f(

x1

x2

•x2)=f(

x1

x2

)+f(x2)，说明
f（x₁）＞f（x₂），得到f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）由f（2）=1，得2=f（4），把对任意实数t，不等式f（t²+1）-f（t²-kt+1）≤2恒成立，转化为对任意实数t，

t2-kt+1＞0① t2+1≤4t2-4kt+4②

恒成立，分别求出使①，②恒成立时k的范围取交集得答案．

解答： （1）证明：设x₁，x₂是（0，+∞）上的任意两个实数，且x₁＞x₂，
则

x1

x2

＞1，∴f(

x1

x2

)＞0，
由f（xy）=f（x）+f（y），得
f(x1)=f(

x1

x2

•x2)=f(

x1

x2

)+f(x2)，
∵f(

x1

x2

)＞0，∴f（x₁）＞f（x₂）．
则f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）解：由f（2）=1，得2=2f（2）=f（2）+f（2）=f（4）．
又对任意实数t，不等式f（t²+1）-f（t²-kt+1）≤2恒成立，
即f（t²+1）≤f（t²-kt+1）+f（4）=f（4t²-4kt+4）恒成立，
则对任意实数t，

t2-kt+1＞0① t2+1≤4t2-4kt+4②

恒成立．
由①得：（-k）²-4＜0，解得-2＜k＜2；
由②得：3t²-4kt+3≥0，则（-4k）²-4×3×3≤0，解得：-

3

2

≤k≤

3

2

．
∴实数k的取值范围是[-

3

2

，

3

2

]．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了抽象函数的应用，考查了数学转化思想方法，训练了二次函数恒成立问题，是中高档题．