Question

3．已知函数f（x）=e^x[x²-（a+2）x+b]，曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为2a²x+y-b=0，其中e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）确定a，b的关系式（用a表示b）；
（Ⅱ）对于任意负数a，总存在x＞0，使f（x）＜M成立，求实数M的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，利用曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为2a²x+y-b=0确定a，b的关系式（用a表示b）；
（Ⅱ）对于任意负数a，总存在x＞0，使f（x）＜M成立，即对于任意负数a，x＞0，使f（x）_min＜M成立，即可求实数M的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x[x²-（a+2）x+b]，
∴f′（x）=e^x[x²-ax+b-（a+2）]，
∴f′（0）=-2a²，∴b=a+2-2a²；
（Ⅱ）对于任意负数a，总存在x＞0，使f（x）＜M成立，
即对于任意负数a，x＞0，使f（x）_min＜M成立，
由（Ⅰ）可知f′（x）=e^x（x-2a）（x+a），
令f′（x）=0，可得x=2a，或x=-a．
a＜0，0＜x＜-a，f′（x）＜0，函数单调递减，x＞-a，f′（x）＞0，函数单调递增，
∴x＞0，f（x）_min=f（-a）=e^-a（3a+2），
令g（a）=e^-a（3a+2），则g′（a）=e^-a（1-3a）＞0，此时函数单调递增，即g（a）＜g（0）=2，
∴M≥2．

点评 本题考查函数的切线方程的求法，考查函数的单调性的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．